Previous: Esencoj de la kvantummekaniko
Up: Esencoj de la kvantummekaniko
Next: La kvantummekaniko
Previous Page: Esencoj de la kvantummekaniko
Next Page: La kvantummekaniko

La klasika mekaniko

Por bone kompreni la kvantummekanikon, kaj por pritaksi la fundamentajn diferencojn, oni devas unue havi klaran bildon pri la t.n. klasika mekaniko, do tiu mekaniko, kiu is la komenco de la nuna jarcento estis konsiderata universale valida, kaj kiu uste priskribas la konduton de grandaj, ekzemple iuj senile videblaj, objektoj. Kvankam iu havas iom da praktika sperto pri la klasika mekaniko el la observado de iutagaj aferoj, la teoria priskribo estas malpli konata.

La temo de la mekaniko estas la priskribo de la movoj de materiaj aoj al kiuj agas fortoj. La estio kaj konduto de tiuj fortoj estas la temo de aliaj fakeroj de la fiziko; la elektrikajn kaj magnetajn fortojn ekzemple pritraktas la elektrodinamiko. Ekzistas mekanikaj priskriboj kaj por rigidaj kaj por flekseblaj aoj, tamen nun ni konsideras nur punktformajn objektojn, por plisimpligi la priskribon. Oni povas priskribi iujn aliajn materiajn objektojn kiel amason da punktaoj, do tiu limigo ne estas fundamente grava. Punktformajn materiajn objektojn oni kutime nomas maspunktoj.

Unue ni devas pripensi kiel la klasika mekaniko priskribas la movon de maspunktoj, do kia estas la rezulto de lamekanika kalkulo. Tiu problemo ajnas simpla, la solvo evidenta. Tamen jam al tiu demando la kvantummekaniko donas tute alian respondon, kiel ni vidos sekve.

Fakte la rezulto de lamekanika kalkulado estas matematikaj funkcioj, kiuj por iu tempo indikas la lokojn de iuj maspunktoj; kutime oni nomas tiujn funkciojn . Konante tiujn funkciojn oni povas kalkuli iujn aliajn fizikajn grandojn, ekzemple rapidojn, energiojn, ktp. Nenia plia informo estas bezonata, fakte e neniuj pliaj sendependaj fizikaj grandoj ekzistas por maspunktoj.

Sed kiun informon oni bezonas por kalkuli ? Kompreneble priskribon de la tuta fizika sistemo, do la nombron de maspunktoj kaj la fortojn agantajn inter ili. Sed tio ne sufias, kiel la iutaga sperto montras: pendolo (kiu povas esti rigardata kiel maspunkto kun (preska) senmasa nuro al kiu agas la tero per la pezforto) povas vaste svingii a tute ne movii, depende de kion ni komence faras pri i. Krom la supre menciita priskribo, oni bezonas la lokojn kaj la rapidojn de iuj maspunktoj je unu tempo. Havante tiujn informojn, oni povas kalkuli la funkciojn , kaj por la pasinta kaj por la estonta tempo. Pro tio oni diras, ke lokoj kaj rapidoj difinas la dinamikan staton de fizika sistemo.

Akiri la funkciojn nun estas pure matematika problemo. La priskribo de la fizika sistemo donas regulon, la kiu oni povas kalkuli la fortojn inter la maspunktoj konante iliajn lokojn kaj rapidojn (ofte la lokoj jam sufias). La fama leo de Newton asertas, ke la forto aganta al iu maspunkto, dividita per ties maso, egalas la anon de la rapido. Konante la komencajn rapidojn kaj la fortojn, oni do facile kalkulas la estontajn rapidojn. Konante la rapidojn, kiuj ja estas la anoj de la lokoj, kaj la komencajn lokojn, oni kalkulas la estontajn lokojn. Entute do tiu kalkulproceso donas la estontan dinamikan staton.

Fundamente tio estas kompleta priskribo de la klasika mekaniko por maspunktoj. Tamen estas menciinde, ke la leo de Newton ne estas la sola formo de la leoj de la mekaniko. Pluraj aliaj versioj ekzistas, kiuj donas precize la samajn rezultojn, sed havas avantaojn a malavantaojn en la praktika uzo, depende de la solvenda problemo. Precipe grava por ni estas la ekvacioj de Hamilton, kiuj donas la anojn de lokoj kaj rapidoj samtempe, se oni nur havas formulon por la tuta energio de la sistemo depende de lokoj kaj rapidoj. Tiu formulo anstataas la formulon por la fortoj; fakte fortoj tute ne aperas. Por la klasika mekaniko de maspunktoj tiu diferenco ne tre gravas; fortoj kaj energio estas same facile troveblaj. Oni elektas unu a la alian la matematika simpleco. Sed ni vidos, ke pri la kvantummekaniko la situacio estas tute malsama.

Por montri la matematikan aspekton de la klasika mekaniko, sekvas simpla kaj bone konata ekzemplo: la movo de planedo irka la suno. Planedo kaj suno estu rigardataj kiel maspunktoj; tiu simpligo ne gravas se oni ne volas studi la turnian movon de amba ielkorpoj irka si mem. La sola forto estas la pezforto kazata de la masoj kaj . La forto aganta al la planedo estas

En i tiu ekvacio, estas la loko de la planedo relative al la suno kaj estas la distanco inter amba (do la longo de ). estas universala konstanto. La forto havas la saman grandon kiel , sed kontraan direkton. En i tiu ekzemplo la forto dependas nur de la lokoj, ne de la rapidoj. La ano de la rapido de la planedo nun estas

(la leo de Newton), la anon de la loko oni kalkulas el la difino de la rapido,

La movo de la suno estas priskribata per similaj formuloj. Solvi la ekvaciojn estas ne tro malfacile, la rezulto estas ke la planedo movias je elipso a hiperbolo irka la suno, depende de la komencaj loko kaj rapido.

Por studi la saman sistemon per la ekvacioj de Hamilton, oni bezonas la energion de la sistemo, kiu dependas de la distanco (pro la pezforto) kaj de la rapidoj, ar iu movianta objekto ja havas energion uste pro sia movo. La tuta energio estas

El tiu funkcio oni povas kalkuli la anojn de lokoj kaj rapidoj per la ekvacioj de Hamilton:

Oni facile pruvas, ke por tiu i sistemo la unua ekvacio estas la difino de la rapido kaj la dua estas la leo de Newton, sed tio ne estas enerale valida.